Fakta|MA3402
---|---
 Navn | Analyse på mangfoldigheter
 Obligatorisk for | Ingen
 Foreleser | [[Nils Baas]]
 Eksamen | Muntlig, 100%
 Lærebok | [Madsen, Tornehave: *From Calculus to Cohomology: de Rham Cohomology and Characteristic Classes*](wiki:Madsen, Tornehave: From Calculus to Cohomology: de Rham Cohomology and Characteristic Classes)
 Nettside | http://www.math.ntnu.no/emner/MA3402/
 semester | Høst



[Stokes' teorem](http://en.wikipedia.org/wiki/Stokes%27_theorem#Special_cases) er perlen i [[TMA4105 Matematikk 2]], og danner i sin 1-, 2- og 3-dimensjonale reelle form grunnlaget for mye av kalkulus og dermed også fysikk. Men hvorfor skal det slutte etter tre stusselige dimensjoner?

Ved å definere alternerende former over endelig-dimensjonale vektorrom, samt smash-produktet for slike, så glatte former over åpne mengder i $ \mathbb{R}^n $ og ytre-derivasjon (sistnevnte generaliserer div, grad og curl), følger en opp med [de Rham-kohomologi](http://en.wikipedia.org/wiki/de_Rham_cohomology) for åpne mengder. Dette generaliseres så naturlig til mangfoldigheter ([[TMA4190 Mangfoldigheter]] er for øvrig ''ikke'' nødvendig å ha tatt), hvor integrasjon defineres, slik at en ender opp med "det ultimate Stokes' teorem":

<math>
\int_M \mathrm{d}\omega = \int_{\partial M} \omega.
</math>

I forelesers egne ord: "Hvis en ikke synes dette er pent, bør en kanskje ikke studere matematikk..."

Faget egner seg godt til å ta parallelt med [[MA3403 Algebraisk topologi I]], da de Rham-kohomologi er et av spesialtilfellene en kan fremstille fra teorien i det faget. Underveis er det også en del teknikker som overlapper (Mayer-Vietoris, visse lange eksakte sekvenser, osv.).