Fakta|MA3403 ---|--- Navn | Algebraisk topologi I semester | Høst Obligatorisk for | Ingen Foreleser | [[Idar Hansen]] Eksamen | Muntlig, 100% Lærebok | [Vick: *Homology Theory - An Introduction to Algebraic Topology*](wiki:Vick: Homology Theory - An Introduction to Algebraic Topology) Øvinger | Nei, men noen anbefalte oppgaver gis innvevd i forelesningene Nettside | http://www.math.ntnu.no/emner/MA3403/ Feltet **[algebraisk topologi](http://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_topology)** benytter algebra som verktøy for å klassifisere topologiske rom. Vi kjenner for eksempel fra calculus at Greens teorem feiler for et punktert domene (f.eks. et område rundt 0 i $ \mathbb{R}^2\backslash\{0\} $). Dette er en følge av rommets topologi. Det punkterte og det ordinære planet er topologisk ''forskjellige''. Likeledes er 2-skiven og 1-sfæren helt klart forskjellige, men hvordan går en til verks med å stadfeste det? Et enda mer tilsynelatende banalt eksempel er spørsmålet om $ \mathbb{R}^n \approx \mathbb{R}^m $ impliserer n=m. Forsøk et direkte bevis. Som et siste motiverende eksempel kan nevnes [Brouwers fikspunktteorem](http://en.wikipedia.org/wiki/Brouwer_fixed_point_theorem), som sier at enhver kontinuerlig funksjon fra n-skiven til seg selv har minst ett fikspunkt. Beviset for dette er høyst ikke-trivielt uten algebraisk topologi. Med reduserer det seg til et fåtalls linjer. Faget begynner med å definere singulær homologi, og bygger opp en etter hvert betraktelig samling resultater rundt dette. Etter hvert innføres [CW-komplekser](http://en.wikipedia.org/wiki/CW_complex), og deretter singulær homologi med koeffisienter i en hvilken som helst abelsk gruppe. Videre generaliseres hele teorien med innføring av [Eilenberg-Steenrod-aksiomene](http://en.wikipedia.org/wiki/Eilenberg-Steenrod_axioms) som lar en behandle generelle ''homologi-teorier'' (hvorav det man har behandlet tidligere er ett tilfelle). Til slutt innføres kohomologi, og det vises hvorfor kohomologi er et kraftigere verktøy enn homologi ved å innføre ringstruktur i førstnevnte. Ringstrukten lar en så skille mellom rom som for gruppestrukturen til homologi (og kohomologi) tilsynelatende var like.