Mangfoldigheter gir en abstrakt innføring i differensiable mangfoldigheter. En "svada-definisjon" på en n-dimensjonal mangfoldighet er "noe som ligner på et n-dimensjonalt euklidsk rom hvis du zoomer inn langt nok". Evt. kan du kalle det en abstrakt n-dimensjonal flate. (Den intuitive oppfatningen er på ingen måte en dekkende. Mengden av alle rette linjer gjennom origo er et eksempel på en mangfoldighet. En sfære, torus, osv., er andre eksempler). Hvis en mangfoldighet er differensiabel så er den ekstra fin og grei å ha med å gjøre.

For å kunne studere mangfoldigheter gis først et kræsjkurs i generell topologi (som handler om åpne og lukkede mengder på en abstrakt måte; en mangfoldiget er egentlig et spesielt topologisk rom), og deretter en innføring i flerdimensjonal analyse (som TMA4105 Matematikk 2 ikke gir på tilstrekkelig måte).

Videre tar kurset for seg undermangfoldigheter (mangfoldigheter inni en annen mangfoldighet), tangentrommet (en nydelig abstrakt beskrivelse av et generalisert tangentplan), tangentbunten (som er mengden av alle tangentplan til en mangfoldiget) og til slutt ser man på anvendelser i forbindelse med differensialligninger.

Man må ha TMA4100 Matematikk 1 t.o.m. [[TMA4120 Matematikk 4K | TMA4120 Matematikk 4]] som bakgrunn, og TMA4145 Lineære metoder gjør faget mer overkommelig, men er ikke påkrevd. Spranget fra matte 1-4 er dog stort.

For en fysiker er mangfoldigheter interessant, bl.a. fordi generell relativitetsteori blant annet er mangfoldighetsteori, og fordi Lie-grupper (som har med symmetriegenskaper å gjøre) er en mangfoldighet. For en matematiker er mangfoldigheter interessant fordi det er fantastisk vakker matematikk, og har dessuten mange anvendelser også innenfor matematikken.