Funksjonalanalyse handler om vektorrom og operatorer mellom vektorrom. Faget bygger i stor grad på TMA4145 Lineære Metoder, og i ganske liten grad på TMA4225 Analysens Grunnlag, som ikke er strengt nødvendig men veldig nyttig å ha hatt. Faget begynner med et minimum av topologi som trengs for å definere begreper, og man innfører en Schauder-basis for uendeligdimensjonale vektorrom. Så går man videre med Open Mapping-teoremet, Banach-Steinhaus-teoremet, Hahn-Banach-teoremet og Banach-Alaoglu-teoremet. Som en kanskje aner er mye av teorien utviklet av Stefan Banach, og mye av faget foregår i Banach-rom.

Med disse kraftige verktøyene er man klare til å behandle lineære operatorer mellom vektorrom, og man utvikler den svært kraftige spektralteorien for operatorer. I lineær algebra representeres operatorer entydig med matriser, men i uendeligdimensjonale vektorrom er ting mye mer interessante. Eksempler på operatorer er integral-operatorer som Fourier- og Laplace-transformen, og differensial-operatorer som Hamilton-operatoren fra kvantemekanikk.

Faget er frivillig, og tas typisk av studenter ved Industriell Matematikk som studerer Analyse, men det er også et nyttig fag for fysikere som vil se hvor kvante-magien kommer fra. Øvingene i faget er frivillige, men nokså sentrale for forståelsen. Det gis typisk 10 øvinger, og løsninger av øvingene kan diskuteres med faglærer. Løsninger til noen oppgaver blir utgitt.

Eksamen i emnet er muntlig, der formatet avgjøres av foreleseren. Det er nokså vanlig å få utdelt et eller to tema som skal presenteres, for så å bli stilt spørsmål om andre deler av faget.