• TMA4225 Analysens grunnlag

Fakta TMA4225
Navn Analysens grunnlag
semester Høst
Obligatorisk for Ingen
Foreleser Christian Skau
Eksamen Midtsemesterprøve (20%) og skriftlig eksamen (80%)
Lærebok Stein, Shakarchi: Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces
Øvinger Frivillige
Nettside http://www.math.ntnu.no/emner/TMA4225/2007h/

Faget gir en introduksjon til målteori (både i $ \mathbb{R}^d $ og i abstrakte målrom) for mengder og funksjoner, samt grunnleggende integrasjonsteori.

Motivasjon

Et grunnleggende spørsmål som motiverer "et nytt integral" er: Gitt en følge av funksjoner

$ (f_n)_{n=1}^\infty,\quad f_n:\mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R} \cup {\pm \infty} $

som konvergerer til $ f $, når er det sant at

$ \lim_{n \rightarrow \infty} \int f_n = \int f, $

altså at "en kan trekke grensen inn i integralet"? Det viser seg at Riemanns integral ikke er tilstrekkelig til å besvare dette viktige spørsmålet.

For å definere Lebesgue-integralet, bygger en opp målteorien - først for mengder i $ \mathbb{R}^d $, og deretter for funksjoner. Konseptet ''målet'' til en mengde gir presis betydning til løse begreper som lengde, areal og volum. På kjøpet får en da et rigid konsept av andre begreper som tidligere har vært gitt ved armvifting - hva er for eksempel "arealet under grafen"? Med Lebesgues integrasjonsteori på plass, kan en uten problem definere dette.

Underveis utvikles også målteorien for funksjoner i mer generelle rom, målrom, samt funksjoner på disse.

Bøker

Fagets anbefalte bok regnes av mange for å være god. Tidligere år har daværende foreleser (Eugenia Malinnikova) gitt følgende liste over alternative bøker:

fagsidene sist Eugenia hadde faget finner en også (under "Lecture notes") et sett notater i fem deler, som dekker deler av kurset.